Inequações de grau superior a 2 (resolução analítica)

 

Pré-requisitos:

·        Dominar os conteúdos sobre a equação quadrática.

·        Saber aplicar a Fórmula Resolvente.

·        Saber aplicar a regra de Ruffini.

·        Saber factorizar funções Polinomiais.

 

No fim deste capítulo, é necessário saber:

·        Resolver analiticamente inequações do tipo a(x)  k, k Î Â

·        Resolver analiticamente inequações do tipo a(x) < b(x).

 

 

Exercícios resolvidos.

 

1 — É dada a função a(x) = -2x3 –8x2-14x+25.

Determine analiticamente a condição a(x) < 5, usando pelo menos uma vez a Regra de Ruffini e a fórmula resolvente.

 

Resolução:

 

Podemos dividir a resolução deste tipo de questões nos seguintes passos:

1º passo: Escrever a condição e passar todos os termos para o 1º membro da inequação:

a(x) < 5

ó -2x3 – 8x2  – 14x + 25 < 5

ó -2x3 – 8x2 – 14x + 25-5 < 0

ó -2x3 – 8x2 – 14x + 20 < 0

2º passo: Com ajuda da máquina gráfica, tentar descobrir uma ou mais raízes

Observando o gráfico, podemos ver que uma das raízes é o valor “– 5”. Aliás, P( - 5) = 0.

3º passo: aplicar a Regra de Ruffini.

 

 

-2

-8

14

20

-5

 

10

-10

-20

 

-2

2

4

0

Donde concluimos que:

-2x3 – 8x2 – 14x + 20 < 0 ó (x + 5)( – 2x2 + 2x + 4)

Aplicando a Fórmula Resolvente à expressão “– 2x2 + 2x + 4”,

 

 

 

Factorizando:

-2x3 – 8x2 – 14x + 20 = -2 (x + 5)(x + 1)(x – 2)

Ou seja:

-2x3 – 8x2 – 14x + 20 < 0 ó -2 (x + 5)(x + 1)(x – 2) < 0

4º passo: Fazer o quadro de sinais:

 

 –∞

-5

 

-1

 

2

+∞

-2

–

–

–

–

–

–

–

x + 5

–

0

+

+

+

+

+

x + 1

+

–

–

0

+

+

+

x - 2

–

–

–

–

–

0

+

 

+

0

–

0

+

0

–

 

Características do quadro:

·        Na 1º linha, as raízes são escritas obrigatoriamente por ordem crescente.

·        Na 1ª coluna, figuram os respectivos factores ( monómios, binómios ) da factorização.

·        À direita do valor “0” (zero) no corpo do quadro, figura sempre o sinal “+” e à esquerda figurará o sinal “-“, salvo nos casos em que o valor “x” do binómio tenha sinal negativo. Exemplos: -x +5 ou –x –5.

NOTA: O monómio “-2” só figura na lista por ser negativo. Se for positivo, não faz sentido figurar na tabela.

 

topo

5º passo: Saber o que se pretende:

a(x) < 5

ó -2x3 – 8x2 – 14x + 20 < 0

 

6º passo: Escrever o conjunto solução.

-2x3 – 8x2 – 14x + 20 < 0 ó x Є ]-5 , -1[ È ] 2 , + ∞ [

topo

--------------------------------------------------- // ---------------------------------------------------

2 — São das as funções

·        a(x) = -x4 +3x2-31x+36

·        b(x) = -6x3 +6x2-5x+12

 

Calcule analiticamente o C.S. da condição b(x) £ a(x), recorrendo apenas à Regra de Ruffini e/ou à Fórmula Resolvente da quadrática.

Nota: pode recorrer á máquina Gráfica para descobrir algumas raízes que desejar, mas terá de as comprovar analiticamente.

 

Resolução:

 

Vamos seguir na medida do possível os passos descritos no exercício anterior:

 

1º passo: Escrever a condição e passar todos os termos para o 1º membro da inequação:

b(x) ³ a(x),

ó –6x3 +6x2–5x+12 ³  –x4 +3x2–31x+36

ó x4 – 6x3 +3x2 + 6x2-5x –31x +12 –36 ³ 0

ó x4 –6x3 + 3x2 + 26x – 24 ³ 0

2º passo: Com ajuda da máquina gráfica, tentar descobrir uma ou mais raízes

Observando o gráfico, podemos ver que as raízes são: “– 2” , “3” , “4” e “1”.

 

3º passo: Aplicar a Regra de Ruffini.

 

 

1

–6

3

26

–24

–2

 

–2

16

-28

+20

 

1

–8

19

–12

0

Donde concluimos que:

x4 –6x3 + 3x2 + 26x – 24 ³ 0 ó (x + 2)( x3 – 8x2 + 26x – 24) ³ 0

 

Aplicando novamente a regra de Ruffini…

 

 

1

–8

19

–12

3

 

3

–15

12

 

1

-5

4

0

 

 

Ou seja: x4 –6x3 + 3x2 + 26x – 24 ³ 0 ó (x + 2)(x – 3)( x2 – 5x + 4) ³ 0

topo

Neste ponto, temos duas opções: ou aplicamos a fórmula resolvente á expressão “x2 – 5x + 4” ou continuamos a aplicar a regra de Ruffini.

Como já sabemos as outras raízes (descobertas com ajuda da máquina gráfica) e o enunciado não nos impõe a formula resolvente, vamos continuar a aplicar a regra de Ruffini.

 

 

1

–5

4

4

 

4

–4

 

1

–1

0

1

 

1

 

 

1

0

 

Poderemos finalmente concluir que:

x4 –6x3 + 3x2 + 26x – 24 ³ 0 ó (x + 2)(x – 3)( x – 4) ( x – 1) ³ 0

 

4º passo: Fazer o quadro de sinais, conforme aprendemos no exemplo anterior:

 

 –∞

-2

 

1

 

3

 

4

+∞

x + 2

–

0

+

+

+

+

+

+

+

x – 3

–

–

–

–

–

0

+

+

+

x – 4

–

–

–

–

–

–

–

0

+

x – 1

–

–

–

0

+

+

+

+

+

 

+

0

–

0

+

0

–

0

+

 

 

 

5º passo: Saber o que se pretende:

b(x) ³ a(x)

ó x4 –6x3 + 3x2 + 26x – 24 ³ 0

 

6º passo: Escrever o conjunto solução.

-2x3 – 8x2 – 14x + 20 ³ 0 ó x Є ]- ∞ , - 2] È [1 , 3 ]  È [4 , + ∞ [

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