Actualizado em 2003-02-28

POLINÓMIOS

 

 

Uma POLINÓMIO é uma expressão em que a variável (ou as variáveis) têm expoente inteiro e não negativo.

 

Sobre as funções módulos, é necessário saber:

·        Reconhecer um polinómio de um não polinómio.

·        Identificar o grau de um polinómio

·        Determinar os zeros de um polinómio com ajuda da máquina gráfica.

·        Factorizar polinómios.

·        Resolver graficamente equações e inequações com polinómios.

 

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Reconhecer um polinómio de um não polinómio.

 

São polinómios expressões do tipo:

                              

1.     A(x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 3    

2.     B (x) = 3x5 + 2x3 + 4

3.     C(x) = 3x2y2 + 5x3z4 – 5y2z3  

 

As variáveis têm apenas expoentes inteiros e não negativos.

 

Em “3”, vemos um polinómio com várias variáveis.

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Não são polinómios expressões do tipo:

4.      

5.      

6.      v

 

 

Identificar o grau de um polinómio

 

O grau de um polinómio é igual ao seu expoente máximo.

Assim, nos exemplos acima, o polinómio da…

…expressão 1, tem grau 3.

…expressão 2, tem grau 5.

…expressão 3, tem grau 4.

 

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Determinar os zeros de um polinómio com ajuda da máquina gráfica.

 

1 — É dado o polinómio P(x) = 2x3 – 4x2 – 10x + 12.

 

Analisemos este polinómio na máquina gráfica.

Obtemos um gráfico, com o esboço abaixo:

 

 

 

 

 

 

Pelo gráfico obtido, poderemos concluir que:

·        os “zeros” do polinómio são: -2 , 1 e 3.

Ou seja: P(x) = 0 ó x Є {-2 , 1 , 3}

·        O termo independente “+12” da expressão do polinómio, indica‑nos o valor onde o gráfico intersecta o eixo dos yy’.

·        O valor “12” (ordenada na origem onde o gráfico do polinómio corta o eixo dos yy’) é igual ao simétrico do produto das raízes. (1)

(1)     Compare com a situação da quadrática, em que a ordenada na origem é igual (não o simétrico) do produto das raízes.

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Factorizar polinómios.

 

Continuemos com o polinómio P(x) = 2x3 – 4x2 – 10x + 12.

 

Já vimos que as suas raízes são : -2 , 1 e 3.

Então, pelo que já aprendemos na quadrática, facilmente poderemos factorizar o polinómio.

Ou seja:

P(x) = 2(x+2)(x-1)(x-3)

 

Nota: O coeficiente “2” é o coeficiente do monómio 2x3 do polinómio dado.

 

 


Resolver graficamente equações e inequações com polinómios.

 

Exercícios resolvidos (com o polinómio P(x) = 2x3 – 4x2 – 10x + 12) :

1.     P(x) = 0

2.     P(x) > 0

3.     P(x) £ 0

4.     P(x) = 5

5.     P(x) £ 5

 

1.     Equação P(x) = 0

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Observemos novamente o gráfico:

 

 

 

 

 

 

 


Facilmente poderemos concluir que:

 

P(x) = 0 ó x Є {-2 , 1 , 3}

 

2.     Inequação P(x) > 0

 

Observando novamente o gráfico podemos concluir que a parte sombreada é a parte positiva da Polinómio.

Então:

P(x) > 0ó x Є ]-2 , 1[ È ] 3 , + ∞ [

 

3.     Inequação P(x) £ 0 terá como solução a condição:

 

P(x) £ 0 ó x Є ]- ∞ , -2] È [ 1 , 3 ]

 

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4.     Equação P(x) = 5

Na máquina gráfica, introduzimos as funções P(x) = 2x3 – 4x2 – 10x + 12 e g(x) = 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Pelo gráfico podemos verificar que os pontos de intersecção tem como abcissas os valores (aproximados) de –1.62 ; 0,68 ; 3.2.

 

Assim, poderemos concluir que a solução da equação é:

 

P(x) = 5 ó x Є {-1,62 ; 0,68  ; 3,2}

 

 

 

5.     Inequação P(x) £ 5


Por um raciocínio análogo a Inequação “3”, concluiremos que

 

P(x) £ 5 ó x Є ]- ; -1,62] È [0,68  ; 3,2 ]

 

 

2 — Estudemos agora o polinómio Q(x) = -3x3 + 15x2 + 18x - 24.

 

Tarefas propostas:

 

1        Factorizar o polinómio:

 

Resolva as seguintes equações e inequações:

2        Q(x) = 0

3        Q(x) > 0

4        Q(x) £ 0

5        Q(x) = 10

6        Q(x) ³ 10

 

Resolução.

 

Factorização do polinómio:

 

1-Seguindo os passos do exemplo anterior, obteremos o gráfico do polinómio Q(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Em que:

·        os “zeros” do polinómio são: -1 , 2 e 4.

·        O termo independente “-24” da expressão do polinómio, indica‑nos o valor onde o gráfico intersecta o eixo dos yy’.

 

·        O valor “-24” (ordenada na origem onde o gráfico do polinómio corta o eixo dos yy’) é igual ao simétrico do produto das raízes. (1)

(1) Volte a comparar com a quadrática.

 

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Assim, a factorização do polinómio será:

Q(x) = -3(x+1)(x-2)(x-4)

 

O coeficiente “-3” é o coeficiente do monómio -3x3  do polinómio dado.

 

1.                Equação Q(x) = 0

 

Ou seja: Q(x) = 0 ó x Є {-1 , 2 , 4}

 

2                   Inequação Q(x) > 0

 

Q(x) > 0 ó x Є ]-  ; 1[ È ] 2  ; 4 [


3.      Inequação Q(x) £ 0

Q(x) £ 0 ó x Є [ -1 , 2 ] È [ 4 ; + [

 

 

4.                Equação Q(x) = 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q(x) = 0 ó x Є {-1,18 ; 2,7 ; 3,45 }

 

5        Inequação Q(x) ³ 10

 

Q(x) ³ 10 ó x Є ]- ; -1,18] È [2,7 ; 3,45 ]

 

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